Для доказательства возможности существования циклических колебаний успешности социума была разработана математическая модель.
В её основу была заложенатеория о структурной неоднородность отдельных членов социума, а также их объединений. Гумилев выделял 12 типов людей:
1. Обыватели
2. бродяги-солдаты
3. преступники
4. честолюбцы
5. деловые люди
6. авантюристы
7. ученые люди
8. творческие люди
9. пророки
10. нестяжатели
11. созерцатели
12. искусители[5]
Но все они попадали либо в разряд пассионариев либо субпассионариев.

Монголы эпохи Чингисхана наносили тяжелые поражения крупнейшим державам Евразии не только за счет храбрости, хитрости, а, прежде всего, за счет дисциплины и монолитности своей армии. Орды делилась на тумены, те в свою очередь делились на тысячи – сотни – десятки. И если с поля боя бежала сотня, то по законам, составленным Чингисханом, казнили всю тысячу.
Так что здесь первично: особый склад людей, или законы Ясы?
Законы могут быть разными, но исполняют их всё-таки люди, Чингисхан лишь узаконил и закрепил тот порядок вещей, который уже был внутри его войска на момент издания Ясы. И доказательством этому служит упадок той же Монгольской империии её потомков, хотя законов Чингисхана никто не отменял. Отдельно взятая личность не может оказывать решающее воздействие на историчесский процесс. Отдельный человек или пассионарная группа может служить только лишь катализатором уже происходящего процесса. Сплоченная группа имеет больше шансов одолеть превосходящее количество не подчиненных одной цели людей. Но когда, каждый начинает думает о сугубо личных интересах, группа распадается, хотя формально может продолжать существовать.

Первый вид агента модели назовем «коллективистом». Агент сотрудничает с соседними коллективистами, что экспоненциально повышает суммарную производительность ресурсов, необходимых для жизни социума. В период изобилия ресурсов коллективисты обладают более низким коэффициентом выживания и размножения, чем другие агенты, которые заботятся, прежде всего, о себе.

В книге «Мудрость толп» Джеймса Суровецки утверждается, что в долгосрочном периоде капитализм смог организоваться вокруг ядра квакеров, которые всегда работали честно со своими партнёрами (вместо того, чтобы обманывать и нарушать обещания).

В 1206 году был издан новый закон: Яса. В нём главное место занимали статьи
о взаимопомощи в походе и запрещении обмана доверившегося. Нарушившего эти установления казнили, а врага монголов, оставшегося верным своему хану, щадили и принимали в своё войско.

Эгоисты - второй вид агентов данной модели.
В теории игр дилемма заключённого (ДЗ) — некооперативная игра, в которой игроки стремятся получить выгоду, сотрудничая друг с другом или предавая. Ведя себя по отдельности рационально, вместе участники приходят к нерациональному решению: если оба предадут, они получат в сумме меньший выигрыш, чем если бы сотрудничали. Единственное равновесие (равновесие Нэша) в этой игре не ведёт к Парето-оптимальному решению.

ДЗ представляет интерес социальным наукам, таким как экономика, политика и социология, а также разделам биологии — этологии и эволюционной биологии. Многие природные процессы были обобщены в модели, в которых живые существа участвуют в бесконечных играх типа дилеммы заключённого.
В политологии, к примеру, сценарий ДЗ часто используется для иллюстрации проблемы двух стран, вовлечённых в гонку вооружений. Обе будут заявлять, что у них есть две возможности: либо увеличить расходы на военные нужды, либо сокращать вооружения. Ни одна из сторон не может быть уверена, что другая будет соблюдать договорённость, следовательно обе будут стремиться к военной экспансии. Это можно считать теоретическим объяснением политики устрашения.

В книге «Эволюция кооперации» (1984) Роберт Акселрод исследовал расширение сценария ДЗ, которое он назвал повторяющаяся дилемма заключённого (ПДЗ). В ней участники делают выбор снова раз за разом и помнят предыдущие результаты. Акселрод открыл, что если игра повторялась долго среди множества игроков, каждый с разными стратегиями, «жадные» стратегии давали плохие результаты в долгосрочном периоде, тогда как более «альтруистические» стратегии работали лучше. Он использовал это, чтобы показать возможный механизм эволюции альтруистического поведения из механизмов, которые изначально чисто эгоистические, через естественный отбор.
Лучшей детерминистской стратегией оказалась «Око за око» (англ. Tit for Tat), которую разработал и выставил на чемпионат Анатолий Рапопорт. Она была простейшей из всех участвовавших программ, состояла всего из 4 строк кода на языке Бейсик. Стратегия проста: сотрудничать на первой итерации игры, после этого игрок делает то же самое, что делал оппонент на предыдущем шаге. Чуть лучше работает стратегия «Око за око с прощением». Когда оппонент предаёт, на следующем шаге игрок иногда в любом случае сотрудничает с небольшой вероятностью (1-5 %). Это позволяет случайным образом выйти из цикла взаимного предательства. Она лучше всего работает, когда в игру вводится недопонимание — когда решение одного игрока сообщается другому с ошибкой.
Анализируя стратегии, набравшие лучшие результаты, Акселрод назвал несколько условий, необходимых, чтобы стратегия получила высокий результат:
Добрая. Важнейшее условие — стратегия должна быть «доброй», то есть не предавать, пока этого не сделает оппонент. Почти все стратегии-лидеры были добрыми. Поэтому чисто эгоистичная стратегия по чисто эгоистическим причинам не будет первой «бить» соперника.
Мстительная. Однако успешная стратегия не должна быть слепым оптимистом. Она должна всегда мстить. Пример немстительной стратегии — всегда сотрудничать. Это очень плохой выбор, поскольку «подлые» стратегии воспользуются этим.
Прощающая. Другое важное качество успешных стратегий — уметь прощать. Отомстив, они должны вернуться к сотрудничеству, если оппонент не продолжает предавать. Это предотвращает бесконечное мщение друг другу и максимизирует выигрыш.
Не завистливая Последнее качество — не быть завистливым, то есть не пытаться набрать больше очков, чем оппонент (что в принципе невозможно для «доброй» стратегии, то есть добрая стратегия никогда не может набрать больше очков, чем оппонент).
Если в одноходовой игре в любом случае доминирует стратегия предать, то в многоходовой оптимальная стратегия зависит от поведения других участников. К примеру, если среди населения все друг друга обманывают, а один ведёт себя по принципу «око за око», он оказывается в небольшом проигрыше из-за потери на первом ходе. В такой популяции оптимальная стратегия — всегда предавать. Если же число исповедующих принцип «око за око» больше, то результат уже зависит от их доли в обществе.

«Трагедию общин» Ардена можно рассматривать как обобщение ДЗ для множества игроков. Трагедия общин — род явлений, связанных с противоречием между личными интересами и общественным благом. В основном под этим имеется в виду проблема переиспользования общественного блага. Термин появился из притчи Вильяма Форстера Лойда в его книге 1833 о населении. Затем термин популяризировал Гаррет Хардин в 1968 в сочинении для журнала Science так и названном «Трагедия общин». Трагедия общин показывает, как свободный доступ к ресурсу, например, пастбищу, полностью уничтожает ресурс из-за чрезмерного его использования. Это происходит, потому что все пользующиеся им получают выгоды непосредственно себе, а издержки содержания ресурса ложатся на всех равномерно. Проблема решается введением распределителя ресурсов (старейшина), который регламентирует использование общего ресурса и не даёт никому излишне его эксплуатировать (однако, старейшина тоже игрок, появляется та же самая проблема, но уже на другом иерархическом уровне - уровне старейшин и т.д.).

Математическая модель социума представляет собой конечного одномерного массива данных и аккумулятор ресурсов.
а1,а2..аn , где n – конечное целое число,
ai=1V0
Каждую эпоху подсчитывается суммарный ресурс, произведенный популяцией, затем массив в виде отдельно взятых членов воспроизводит себя за счет этих ресурсов.
Каждый агент может принимать только одно из двух значений ‘0’ либо ’1’. Нолик соответствует особи, ориентированной, прежде всего. Эгоист не способен к объединению в “идеальные” коллективы, о которых речь пойдет ниже. Также нолики имеют более высокие параметры размножения, так как тратят энергию на себя. Единица представляет собой полную противоположность нолика. Коллективист способен вступать в идеальные коллективы, но имеет меньшую способность к размножению из-за повышенной смертности. При соседствующем положении двух или более коллективистов они могут образовывать структуру, названную Идеальным коллективом. Эта структура описывается следующим образом, при подсчете произведенных популяцией ресурсов вклад идеальных коллективов рассчитывается по экспоненциальной формуле:

Находящиеся рядом коллективисты дают резкий прирост ресурсов.
После подсчета совокупного ресурса популяции идет фаза распределения ресурсов между членами популяции.
Создаются новый стек, в который записываются результаты размножения популяции. Если ресурсов много, то распределение проходит несколько раз. Старый стек полностью удаляется, таким образом, происходит смена поколения.
Теперь привнесём в модель возможность внутренней конкуренции. При дефиците ресурсов коллективисты при возможности объединяются в монолитные группы и подменяют менее многочисленные группы в новой матрице.
Как обычно, создается новая очередь, но потом, голодающие особи старой очереди атакуют соответствующих им по счету особей новой очереди. Атака получается успешной, если группа коллективистов нападает на один или несколько ноликов.

Времена вспышек в достаточной степени случайны. Для крупной вспышки рядом должны оказаться множество единичек, такое возможно лишь при случайном слиянии довольно больших групп единичек в одну, при этом производительность новой группы вырастет экспоненциально. Количество резко переходит в качество. Стоит ещё раз отметить поразительное сходство модели Гумелева с получившимися графиками всплесков. Сам он так описывал математический смысл графика вспышки и угасания этноса: «Непривычная по виду кривая ассиметрична, дискретна и анизотропна по ходу времени. Она хорошо известна кибернетикам как кривая, описывающая сгорание костра…»